Eindige Elementen Methode
2D-Plaat wordt berekend met behulp van de Eindige Elementen Methode gebaseerd op de volgende uitgangspunten:
|
Element |
Achtergrond |
Convergentie van oplossing |
|
Convex vlak 4-hoekige dun plaat- en schaalelement. Dit plaatelement wordt gebruikt voor zowel statische als dynamische berekeningen.
|
Dit plaatelement is ontwikkeld door Fraeijs de Veubeke volgens de theorie van Kirchhof (dunne platen).Het element is gebaseerd op vijf vrijheidsgraden X’, Y’, Z’, X’r,Y’r in de ruimte van het locale element en zes vrijheidsgraden X, Y, Z, Xr, Yr, Zr in het globale assenstelsel.
De stijfheidmatrix wordt afzonderlijk opgebouwd voor X’-Y’ (Rek – Spanning) en Z’-X’r-Y’r (Buiging). Integratie in het element – numeriek.
De berekeningsresultaten x, y, xy (Spanning-Rek), Mx, My, Mxy, Vx, Vy (Buiging) worden geconcentreerd in het zwaartepunt van een element. |
u - verplaatsingen; σ - spanningen/krachten; ||u|| - vierkantswortel van de integraal over u in het domein van een element;
Dit betekend dat, door een mesh 2x te verfijnen, de mogelijke fout in de verplaatsingen 4x kleiner wordt, terwijl de fout voor spanningen 2x kleiner wordt. |
Berekeningsmethoden van de platen
Er zijn verschillende berekeningsmethoden ontwikkeld afhankelijk van de verhouding tussen de dikte en de lengte van de platen:
|
|
Gemiddelde dikte |
Dun |
Erg dun |
|
t/lx , t/ly |
1/5 tot 1/10 |
1/5 tot 1/50 |
< 1/50 |
|
Beschrijving |
Met dwarsvervorming |
Zonder dwarsvervorming, meest gebruikt voor praktische toepassingen |
Geometrisch niet-lineair, met membraan vervorming |
|
Theorie |
Reissner, Mindlin |
Kirchhoff |
von Karman |
|
Gerelateerde ligger theorie |
Timoshenko |
Euler, Bernoulli |
Theorie van de tweede orde |
De meeste praktische toepassingen hebben betrekking op dunne platen. Binnen het lineaire gedrag is deze theorie die zich puur richt op buiging voldoende en dwarsvervorming kan/mag worden verwaarloosd (Kirchhoff theorie).
Aannamen van de Kirchhoff plaat theorie:
- geometrisch lineair (geringe trek en vervorming)
- lineair materiaal (lineaire elastisch (Hooke), in het meest simpele geval homogeen en isotroop
- dunne plaat
Bernoulli a+b: Kirchhoff theorie 
Bernoulli a: Reissner-Mindlin theorie 
